În matematică, termenul „divizibil” se referă la capacitatea unui număr de a fi împărțit exact de un alt număr, fără a lăsa rest. Când spunem că un număr este divizibil cu alt număr, înseamnă că rezultatul împărțirii lor este un număr întreg, fără fracțiuni sau zecimale. Conceptul de divizibilitate este esențial în numeroase ramuri ale matematicii, cum ar fi aritmetica și teoria numerelor, și joacă un rol important în rezolvarea multor probleme.
În acest articol, vom explora ce înseamnă divizibilitatea, care sunt criteriile de divizibilitate pentru anumite numere și vom oferi exemple pentru a înțelege mai bine acest concept.
Ce înseamnă „divizibil”?
Un număr întreg aaa este divizibil cu un alt număr întreg bbb (unde b≠0b \neq 0b=0) dacă împărțirea lui aaa la bbb dă un rezultat întreg, adică fără rest. Acest lucru se notează astfel:
- Dacă aaa este divizibil cu bbb, atunci a÷ba \div ba÷b este un număr întreg, iar restul împărțirii este 0.
Matematic, spunem că aaa este divizibil cu bbb sau că bbb divide aaa și scriem b∣ab \mid ab∣a.
De exemplu:
- 12 este divizibil cu 4, deoarece 12÷4=312 \div 4 = 312÷4=3, iar 3 este un număr întreg.
- 15 nu este divizibil cu 4, deoarece 15÷4=3.7515 \div 4 = 3.7515÷4=3.75, care nu este un număr întreg.
Criterii de divizibilitate
Există anumite reguli sau criterii de divizibilitate care ne permit să verificăm rapid dacă un număr este divizibil cu altul, fără a fi nevoie să facem efectiv împărțirea. Iată cele mai comune criterii de divizibilitate pentru numerele de la 1 la 10:
- Divizibilitatea cu 2
Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este pară (adică 0, 2, 4, 6 sau 8).
Exemplu:
- 24 este divizibil cu 2, deoarece ultima cifră este 4.
- 35 nu este divizibil cu 2, deoarece ultima cifră este 5.
- Divizibilitatea cu 3
Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
Exemplu:
- 123 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor este 1+2+3=61 + 2 + 3 = 61+2+3=6, iar 6 este divizibil cu 3.
- 152 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor este 1+5+2=81 + 5 + 2 = 81+5+2=8, iar 8 nu este divizibil cu 3.
- Divizibilitatea cu 4
Un număr este divizibil cu 4 dacă ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 4.
Exemplu:
- 124 este divizibil cu 4, deoarece ultimele două cifre sunt 24, iar 24 este divizibil cu 4.
- 153 nu este divizibil cu 4, deoarece ultimele două cifre sunt 53, iar 53 nu este divizibil cu 4.
- Divizibilitatea cu 5
Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.
Exemplu:
- 50 este divizibil cu 5, deoarece ultima cifră este 0.
- 73 nu este divizibil cu 5, deoarece ultima cifră este 3.
- Divizibilitatea cu 6
Un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil atât cu 2, cât și cu 3.
Exemplu:
- 24 este divizibil cu 6, deoarece este divizibil cu 2 (ultima cifră este 4, deci este par) și cu 3 (suma cifrelor 2+4=62 + 4 = 62+4=6, care este divizibil cu 3).
- 35 nu este divizibil cu 6, deoarece nu este divizibil cu 2 (ultima cifră este 5, care nu este par).
- Divizibilitatea cu 8
Un număr este divizibil cu 8 dacă ultimele trei cifre ale numărului formează un număr divizibil cu 8.
Exemplu:
- 1128 este divizibil cu 8, deoarece ultimele trei cifre sunt 128, iar 128 este divizibil cu 8.
- 945 nu este divizibil cu 8, deoarece ultimele trei cifre sunt 945, iar 945 nu este divizibil cu 8.
- Divizibilitatea cu 9
Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.
Exemplu:
- 432 este divizibil cu 9, deoarece suma cifrelor este 4+3+2=94 + 3 + 2 = 94+3+2=9, iar 9 este divizibil cu 9.
- 523 nu este divizibil cu 9, deoarece suma cifrelor este 5+2+3=105 + 2 + 3 = 105+2+3=10, iar 10 nu este divizibil cu 9.
- Divizibilitatea cu 10
Un număr este divizibil cu 10 dacă ultima sa cifră este 0.
Exemplu:
- 120 este divizibil cu 10, deoarece ultima cifră este 0.
- 45 nu este divizibil cu 10, deoarece ultima cifră este 5.
Exemple de divizibilitate
- 24 este divizibil cu 6: Deoarece 24 este divizibil cu 2 (ultima cifră este 4, deci este par) și cu 3 (suma cifrelor 2+4=62 + 4 = 62+4=6, care este divizibil cu 3), putem spune că 24 este divizibil cu 6.
- 100 este divizibil cu 5 și cu 10: Ultima cifră a lui 100 este 0, deci este divizibil atât cu 5, cât și cu 10.
- 111 nu este divizibil cu 3: Suma cifrelor lui 111 este 1+1+1=31 + 1 + 1 = 31+1+1=3, dar 3 este divizibil cu 3, deci 111 este de fapt divizibil cu 3. Deși pare un exemplu negativ, acest tip de situație ar trebui să ne amintească să fim atenți la cum aplicăm criteriile.
Concluzie
Conceptul de „divizibil” este esențial în matematică și joacă un rol important în rezolvarea problemelor de aritmetică și teorie a numerelor. Criteriile de divizibilitate sunt instrumente utile care ne permit să verificăm rapid dacă un număr este divizibil cu altul, fără a face calcule complicate. Prin înțelegerea și aplicarea corectă a acestor criterii, putem rezolva probleme matematice într-un mod eficient și rapid.
Sursă: netarhia.ro
